المستوى الفضي · الدفتر 2 من 3

البوابات الأحادية وكرة بلوخ

Single-Qubit Gates & the Bloch Sphere

بوابات باولي وهادامارد وبوابات الطور كمصفوفات وحدوية، وربط أثرها بدوران متجه بلوخ.

نحو 28 دقيقة3 خلايا كود1 تمارين · 35 نقطة

يُفترض أنك أتممت: حالات الكيوبت والتراكب الكمي

أهداف هذا الدفتر

تطبيق بوابات X و Z و H على الحالات
التحقق من وحدوية البوابات برمجياً
حساب متجه بلوخ من متجه الحالة
تركيب البوابات وإثبات متطابقات مثل HZH = X

النواة غير محمّلة

0 من 4 خطوة0%

البوابات مصفوفات وحدوية

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

الشرط الوحيد لصلاحية البوابة هو الوحدوية $U^{\dagger}U = I$ ، وهي التي تضمن حفظ الاحتمالات وقابلية عكس العملية.

[ ]

تعريف البوابات وتطبيقها

import numpy as np

I = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)
S = np.array([[1, 0], [0, 1j]], dtype=complex)

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)

print("X|0> =", np.round(X @ ket0, 3))
print("H|0> =", np.round(H @ ket0, 3))
print("Z(H|0>) =", np.round(Z @ (H @ ket0), 3))

for name, G in [("X", X), ("Y", Y), ("Z", Z), ("H", H), ("S", S)]:
    print(name, "وحدوية؟", np.allclose(G.conj().T @ G, I))

import numpy as np

I = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)
S = np.array([[1, 0], [0, 1j]], dtype=complex)

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)

print("X|0> =", np.round(X @ ket0, 3))
print("H|0> =", np.round(H @ ket0, 3))
print("Z(H|0>) =", np.round(Z @ (H @ ket0), 3))

for name, G in [("X", X), ("Y", Y), ("Z", Z), ("H", H), ("S", S)]:
    print(name, "وحدوية؟", np.allclose(G.conj().T @ G, I))

[ ]

إثبات المتطابقة HZH = X عددياً

import numpy as np

X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)

print(np.round(H @ Z @ H, 10))
print("HZH == X ؟", np.allclose(H @ Z @ H, X))
print("HXH == Z ؟", np.allclose(H @ X @ H, Z))
print("S² == Z ؟", np.allclose(np.array([[1,0],[0,1j]]) @ np.array([[1,0],[0,1j]]), Z))

import numpy as np

X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)

print(np.round(H @ Z @ H, 10))
print("HZH == X ؟", np.allclose(H @ Z @ H, X))
print("HXH == Z ؟", np.allclose(H @ X @ H, Z))
print("S² == Z ؟", np.allclose(np.array([[1,0],[0,1j]]) @ np.array([[1,0],[0,1j]]), Z))

[ ]

من متجه الحالة إلى متجه بلوخ

import numpy as np

X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)

def bloch_vector(state):
    return [round(float(np.real(np.vdot(state, G @ state))), 6) for G in (X, Y, Z)]

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
plus = np.array([1, 1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
minus = np.array([1, -1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
plus_i = np.array([1, 1j], dtype=complex) / np.sqrt(2)

print("|0>  ->", bloch_vector(ket0))
print("|+>  ->", bloch_vector(plus))
print("|->  ->", bloch_vector(minus))
print("|+i> ->", bloch_vector(plus_i))

import numpy as np

X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)

def bloch_vector(state):
    return [round(float(np.real(np.vdot(state, G @ state))), 6) for G in (X, Y, Z)]

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
plus = np.array([1, 1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
minus = np.array([1, -1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
plus_i = np.array([1, 1j], dtype=complex) / np.sqrt(2)

print("|0>  ->", bloch_vector(ket0))
print("|+>  ->", bloch_vector(plus))
print("|->  ->", bloch_vector(minus))
print("|+i> ->", bloch_vector(plus_i))

تمرين تفاعلي

35 نقطة

تمرين: بوابة الدوران حول المحور Y

بوابة الدوران $R_y(\theta)$ تُعطى بالمصفوفة:

R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}

اكتب دالة ry(theta) تُعيد هذه المصفوفة كمصفوفة numpy. تحقّق أن $R_y(\pi)$ تحوّل $|0\rangle$ إلى $|1\rangle$ (بفارق إشارة).

[ ]

import numpy as np

def ry(theta):
    # اكتب الكود هنا
    pass

print(np.round(ry(np.pi), 6))

import numpy as np

def ry(theta):
    # اكتب الكود هنا
    pass

print(np.round(ry(np.pi), 6))

أكملت 0 من 4 خطوة في هذا الدفتر. شغّل الخلايا المتبقّية وحلّ التمارين لإتمامه.

كل دفاتر المسار الدفتر التالي: التشابك وحالات بيل