الحوسبة الكمية

ملخص القوانين الكمية

مرجع شامل وسريع لكافة القوانين والصيغ الرياضياتية المستخدمة في الحوسبة الكمية مرتبة حسب المسارات العلمية.

الحالات وترميز ديراك

الحالة العامة لكيوبت

∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩,∣α∣2+∣β∣2=1|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle, \qquad |\alpha|^{2} + |\beta|^{2} = 1

شرط التطبيع يضمن أن مجموع الاحتمالات يساوي واحداً.

أساس هادامارد

∣±⟩=∣0⟩±∣1⟩2|\pm\rangle = \frac{|0\rangle \pm |1\rangle}{\sqrt{2}}

متعامدان ويشكّلان أساس القياس في المحور X.

تمثيل كرة بلوخ

∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiφsin⁡θ2∣1⟩|\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle

كل حالة نقية نقطة على سطح الكرة، والطور العام غير مرئي.

الضرب التنسوري

∣a⟩⊗∣b⟩=∣ab⟩,dim⁡Hn=2n|a\rangle \otimes |b\rangle = |ab\rangle, \qquad \dim \mathcal{H}_{n} = 2^{n}

بُعد الفضاء ينمو أسّياً مع عدد الكيوبتات.

البوابات الكمية

بوابات باولي

X=(0110),  Y=(0−ii0),  Z=(100−1)X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \; Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

كل منها هيرميتي ووحدوي، ومربّعه يساوي الهوية.

بوابة هادامارد

H=12(111−1),HZH=XH = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad HZH = X

تولّد التراكب وتبدّل بين المحورين X و Z.

بوابات الطور

S=(100i),T=(100eiπ/4)S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}

العلاقات: T² = S و S² = Z.

بوابة التحكم CNOT

CNOT=(1000010000010010)\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

تقلب الهدف عندما يكون المتحكّم في الحالة |1⟩.

شرط الوحدوية

U†U=UU†=I  ⟹  U−1=U†U^{\dagger}U = UU^{\dagger} = I \;\Longrightarrow\; U^{-1} = U^{\dagger}

كل بوابة كمية قابلة للعكس بالضرورة.

التشابك وحالات بيل

حالات بيل الأربع

∣Φ±⟩=∣00⟩±∣11⟩2,∣Ψ±⟩=∣01⟩±∣10⟩2|\Phi^{\pm}\rangle = \frac{|00\rangle \pm |11\rangle}{\sqrt{2}}, \qquad |\Psi^{\pm}\rangle = \frac{|01\rangle \pm |10\rangle}{\sqrt{2}}

أساس كامل ومتعامد لفضاء كيوبتين، وكلها متشابكة تماماً.

دائرة توليد حالة بيل

∣00⟩→H⊗I→CNOT∣Φ+⟩|00\rangle \xrightarrow{H \otimes I} \xrightarrow{\text{CNOT}} |\Phi^{+}\rangle

بوابتان فقط تكفيان لتوليد التشابك.

معيار الفصل لكيوبتين

a00a11=a01a10a_{00}a_{11} = a_{01}a_{10}

إذا فشل الشرط فالحالة متشابكة.

حالة GHZ

∣GHZ⟩=∣000⟩+∣111⟩2|\text{GHZ}\rangle = \frac{|000\rangle + |111\rangle}{\sqrt{2}}

تشابك متعدد الأطراف بثلاثة كيوبتات.

القياس ومصفوفة الكثافة

قاعدة بورن

P(m)=⟨ψ∣Pm∣ψ⟩=∥Pm∣ψ⟩∥2P(m) = \langle \psi | P_m | \psi \rangle = \|P_m|\psi\rangle\|^{2}

احتمال النتيجة هو مربّع مقدار الاتساع.

الحالة بعد القياس

∣ψ′⟩=Pm∣ψ⟩P(m)|\psi'\rangle = \frac{P_m |\psi\rangle}{\sqrt{P(m)}}

الإسقاط ثم إعادة التطبيع.

مصفوفة الكثافة

ρ=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣,Tr(ρ)=1\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle \psi_i|, \qquad \mathrm{Tr}(\rho) = 1

تصف الحالات النقية والمختلطة معاً.

النقاء

Tr(ρ2)=1+∣r⃗∣22∈[12,1]\mathrm{Tr}(\rho^{2}) = \frac{1 + |\vec{r}|^{2}}{2} \in \left[\tfrac{1}{2}, 1\right]

القيمة 1 تعني حالة نقية، و½ تعني اختلاطاً أقصى.

القيمة المتوقعة

⟨A⟩=⟨ψ∣A∣ψ⟩=Tr(ρA)\langle A \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle = \mathrm{Tr}(\rho A)

الصيغة الثانية تصلح للحالات المختلطة أيضاً.

الخوارزميات والبروتوكولات

تكرارات غروفر

kopt≈π4N,O(N)k_{\text{opt}} \approx \frac{\pi}{4}\sqrt{N}, \qquad O(\sqrt{N})

تسريع تربيعي، وهو الأمثل المُبرهَن للبحث غير المهيكل.

دويتش-جوزا

nquantum=1vsnclassical=2n−1+1n_{\text{quantum}} = 1 \quad \text{vs} \quad n_{\text{classical}} = 2^{n-1} + 1

أول فصل أسّي صريح في نموذج الأوراكل.

ارتداد الطور

CU∣+⟩∣u⟩=(∣0⟩+eiφ∣1⟩2)∣u⟩\text{CU}|+\rangle|u\rangle = \left(\frac{|0\rangle + e^{i\varphi}|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)|u\rangle

المحرّك الخفي وراء تقدير الطور وخوارزمية شور.

النقل الآني

∣ψ⟩+∣Φ+⟩+2 cbits→∣ψ⟩|\psi\rangle + |\Phi^{+}\rangle + 2\,\text{cbits} \to |\psi\rangle

الكيوبت الأصلي يُدمَّر، فلا تناقض مع استحالة الاستنساخ.

استحالة الاستنساخ

∄ U:  U∣ψ⟩∣0⟩=∣ψ⟩∣ψ⟩∀∣ψ⟩\nexists\, U: \; U|\psi\rangle|0\rangle = |\psi\rangle|\psi\rangle \quad \forall |\psi\rangle

نتيجة مباشرة لخطية ميكانيكا الكم.

تصحيح الأخطاء والعتاد

كود قلب البت

∣0⟩L=∣000⟩,∣1⟩L=∣111⟩|0\rangle_L = |000\rangle, \qquad |1\rangle_L = |111\rangle

المُثبِّتان Z₁Z₂ و Z₂Z₃ يحدّدان موضع الخطأ.

كود قلب الطور

∣0⟩L=∣+++⟩,∣1⟩L=∣−−−⟩|0\rangle_L = |{+}{+}{+}\rangle, \qquad |1\rangle_L = |{-}{-}{-}\rangle

المُثبِّتات هنا X₁X₂ و X₂X₃.

مبرهنة العتبة

p<pth  ⟹  pL∝(ppth)⌊(d+1)/2⌋p < p_{\text{th}} \;\Longrightarrow\; p_L \propto \left(\frac{p}{p_{\text{th}}}\right)^{\lfloor (d+1)/2 \rfloor}

عتبة كود السطح تقارب 1%.

أزمنة التفكك

P(1)(t)=e−t/T1,ρ01(t)=ρ01(0)e−t/T2,T2≤2T1P(1)(t) = e^{-t/T_1}, \qquad \rho_{01}(t) = \rho_{01}(0)e^{-t/T_2}, \qquad T_2 \leq 2T_1

تحدّان معاً أقصى عمق دائرة قابل للتنفيذ.

كلفة كود السطح

nphys≈d2,k=1n_{\text{phys}} \approx d^{2}, \qquad k = 1

مئات الكيوبتات الفيزيائية لكل كيوبت منطقي.