المستوى البرونزي · الدفتر 10 من 15

المصفوفات

Matrices

المصفوفة وأبعادها وفهرستها، الضرب في عدد قياسي، جمع المصفوفات، المنقول، ضرب مصفوفة في متجه، وضرب مصفوفتين وعدم إبداليته.

نحو 30 دقيقة6 خلايا كود3 تمارين · 95 نقطة

يُفترض أنك أتممت: الضرب القياسي

أهداف هذا الدفتر

تمثيل المصفوفة بقائمة متداخلة والوصول إلى عناصرها
ضرب المصفوفة في عدد قياسي وجمع مصفوفتين
حساب المنقول وضرب مصفوفة في متجه
ضرب مصفوفتين وإثبات أن الضرب غير إبدالي

النواة غير محمّلة

0 من 9 خطوة0%

المصفوفة

المصفوفة ترتيب مستطيل من الأعداد موزّع على صفوف وأعمدة. إذا احتوت $m$ صفوف و $n$ أعمدة فأبعادها $m \times n$ ، وتُمثَّل في Python بقائمة متداخلة ثنائية الأبعاد.

يرمز $M_{ij}$ إلى العنصر في الصف $i$ والعمود $j$ . تبدأ الفهارس الرياضية عادةً من $1$ ، بينما تبدأ فهارس قوائم Python من $0$ ؛ لذلك نصل إلى $M_{ij}$ في Python باستخدام M[i-1][j-1].

[ ]

بناء مصفوفة والوصول إلى عناصرها

M = [
    [8, 0, -1, 0, 2],
    [-2, -3, 1, 1, 4],
    [0, 0, 1, -7, 1],
    [1, 4, -2, 5, 9],
]
for row in M:
    print(row)

print("الأبعاد:", len(M), "×", len(M[0]))
print(M[0][0])  # الصف الأول، العمود الأول
print(M[2][3])  # الصف الثالث، العمود الرابع
print(M[3][4])  # الصف الرابع، العمود الخامس

M = [
    [8, 0, -1, 0, 2],
    [-2, -3, 1, 1, 4],
    [0, 0, 1, -7, 1],
    [1, 4, -2, 5, 9],
]
for row in M:
    print(row)

print("الأبعاد:", len(M), "×", len(M[0]))
print(M[0][0])  # الصف الأول، العمود الأول
print(M[2][3])  # الصف الثالث، العمود الرابع
print(M[3][4])  # الصف الرابع، العمود الخامس

[ ]

الضرب في عدد قياسي ثم جمع المصفوفتين

M = [
    [8, 0, -1, 0, 2],
    [-2, -3, 1, 1, 4],
    [0, 0, 1, -7, 1],
    [1, 4, -2, 5, 9],
]

scalar = -2
N = []
for row in M:
    N.append([scalar * entry for entry in row])

K = []
for i in range(len(M)):
    new_row = []
    for j in range(len(M[0])):
        new_row.append(M[i][j] + N[i][j])
    K.append(new_row)

for row in K:
    print(row)
print("لاحظ: M + (-2M) = -M")

M = [
    [8, 0, -1, 0, 2],
    [-2, -3, 1, 1, 4],
    [0, 0, 1, -7, 1],
    [1, 4, -2, 5, 9],
]

scalar = -2
N = []
for row in M:
    N.append([scalar * entry for entry in row])

K = []
for i in range(len(M)):
    new_row = []
    for j in range(len(M[0])):
        new_row.append(M[i][j] + N[i][j])
    K.append(new_row)

for row in K:
    print(row)
print("لاحظ: M + (-2M) = -M")

[ ]

المنقول: تبديل الصفوف بالأعمدة

M = [
    [-2, 3, 0, 4],
    [-1, 1, 5, 9],
]

MT = []
for j in range(len(M[0])):
    MT.append([M[i][j] for i in range(len(M))])

print("الأصلية:", len(M), "×", len(M[0]))
print("المنقولة:", len(MT), "×", len(MT[0]))
for row in MT:
    print(row)

M = [
    [-2, 3, 0, 4],
    [-1, 1, 5, 9],
]

MT = []
for j in range(len(M[0])):
    MT.append([M[i][j] for i in range(len(M))])

print("الأصلية:", len(M), "×", len(M[0]))
print("المنقولة:", len(MT), "×", len(MT[0]))
for row in MT:
    print(row)

[ ]

ضرب مصفوفة في متجه: كل مركّبة ناتجة ضرب قياسي لصف في المتجه

M = [
    [-1, 0, 1],
    [-2, -3, 4],
    [1, 5, 6],
]
v = [1, -3, 2]

u = []
for row in M:
    entry = sum(row[j] * v[j] for j in range(len(v)))
    u.append(entry)

print(u)  # [1, 15, -2]

M = [
    [-1, 0, 1],
    [-2, -3, 4],
    [1, 5, 6],
]
v = [1, -3, 2]

u = []
for row in M:
    entry = sum(row[j] * v[j] for j in range(len(v)))
    u.append(entry)

print(u)  # [1, 15, -2]

[ ]

ضرب مصفوفتين: العنصر (i,j) ضرب قياسي للصف i من A والعمود j من B

def matrix_multiply(A, B):
    if len(A[0]) != len(B):
        raise ValueError("incompatible matrix dimensions")
    result = []
    for i in range(len(A)):
        row = []
        for j in range(len(B[0])):
            value = sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(len(B)))
            row.append(value)
        result.append(row)
    return result

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[0, 1], [1, 0]]
for row in matrix_multiply(A, B):
    print(row)

def matrix_multiply(A, B):
    if len(A[0]) != len(B):
        raise ValueError("incompatible matrix dimensions")
    result = []
    for i in range(len(A)):
        row = []
        for j in range(len(B[0])):
            value = sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(len(B)))
            row.append(value)
        result.append(row)
    return result

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[0, 1], [1, 0]]
for row in matrix_multiply(A, B):
    print(row)

[ ]

الضرب غير إبدالي: AB قد يختلف عن BA

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[0, 1], [1, 0]]

AB = matrix_multiply(A, B)
BA = matrix_multiply(B, A)

print("AB =", AB)
print("BA =", BA)
print("هل AB = BA؟", AB == BA)

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[0, 1], [1, 0]]

AB = matrix_multiply(A, B)
BA = matrix_multiply(B, A)

print("AB =", AB)
print("BA =", BA)
print("هل AB = BA؟", AB == BA)

شروط التعريف

حاصل الضرب $AB$ معرّف فقط عندما يساوي **عدد أعمدة $A$ عدد صفوف $B$ **.
الضرب ليس إبدالياً في العموم؛ فقد يكون $AB \neq BA$ ، بل قد يكون أحد الضربين غير معرّف أصلاً.

هذه الخاصية جوهرية في الحوسبة الكمية: ترتيب تطبيق البوابات يغيّر النتيجة، ومن هنا يأتي مفهوم المُبدِّل $[A, B] = AB - BA$ .

تمرين تفاعلي

30 نقطة

تمرين 1

أنشئ مصفوفتين A و B أبعادهما $3 \times 4$ وعناصرهما أعداد صحيحة عشوائية من $-5$ إلى $5$ ، ثم احسب:

C = 3A - 2B

[ ]

from random import randrange

A = []
B = []
C = []
# اكتب الكود هنا
for row in C:
    print(row)

from random import randrange

A = []
B = []
C = []
# اكتب الكود هنا
for row in C:
    print(row)

تمرين تفاعلي

30 نقطة

تمرين 2

اكتب دالة transpose(M) تُعيد منقول المصفوفة، ثم طبّقها على A و B من التمرين السابق وتحقّق من أن أبعاد الناتج $4 \times 3$ .

(M^T)_{ji} = M_{ij}

[ ]

def transpose(M):
    # اكتب الكود هنا
    pass

AT = transpose(A)
BT = transpose(B)
print(len(AT), "×", len(AT[0]))

def transpose(M):
    # اكتب الكود هنا
    pass

AT = transpose(A)
BT = transpose(B)
print(len(AT), "×", len(AT[0]))

تمرين تفاعلي

35 نقطة

تمرين 3

اختر مصفوفتين مربّعتين $2 \times 2$ ، ثم احسب $AB$ و $BA$ وقدّم مثالاً يوضّح أنهما غير متساويين.

خزّن الناتجين في AB و BA، وخزّن في P و Q المصفوفتين اللتين استعملتهما.

[ ]

def matmul(X, Y):
    # اكتب الكود هنا
    pass

P = [[1, 2], [3, 4]]
Q = [[0, 1], [1, 0]]
AB = matmul(P, Q)
BA = matmul(Q, P)
print(AB)
print(BA)
print("متساويتان؟", AB == BA)

def matmul(X, Y):
    # اكتب الكود هنا
    pass

P = [[1, 2], [3, 4]]
Q = [[0, 1], [1, 0]]
AB = matmul(P, Q)
BA = matmul(Q, P)
print(AB)
print(BA)
print("متساويتان؟", AB == BA)

أكملت 0 من 9 خطوة في هذا الدفتر. شغّل الخلايا المتبقّية وحلّ التمارين لإتمامه.

كل دفاتر المسار الدفتر التالي: الضرب التنسوري

المادة العلمية مبنية على المادة العلمية للمرحلة التحضيرية (QWorld / QSaudiArabia)، إعداد: Abuzer Yakaryılmaz · خلود بندر المطيري · جود عوض الشهري.