المستوى البرونزي · الدفتر 9 من 15

الضرب القياسي

Dot Product

الضرب القياسي بين متجهين، علاقته بطول المتجه، وشرط التعامد — وهو ما يقابل الضرب الداخلي في ترميز ديراك لاحقاً.

نحو 22 دقيقة3 خلايا كود3 تمارين · 70 نقطة

يُفترض أنك أتممت: المتجهات

أهداف هذا الدفتر

حساب الضرب القياسي لمتجهين لهما البُعد نفسه
اشتقاق الطول من الضرب القياسي للمتجه في نفسه
اختبار تعامد متجهين
التحقق من أن تغيير الإشارة لا يكسر التعامد

النواة غير محمّلة

0 من 6 خطوة0%

الضرب القياسي

الضرب القياسي عملية بين متجهين لهما البُعد نفسه، وناتجها عدد قياسي. نحسبه بضرب المركّبات المتناظرة ثم جمع النواتج:

u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n

[ ]

الحساب المباشر بحلقة

u = [-3, -2, 0, -1, 4]
v = [-1, -1, 2, -3, 5]

dot_product = 0
for i in range(len(u)):
    dot_product += u[i] * v[i]

print(dot_product)  # 28

u = [-3, -2, 0, -1, 4]
v = [-1, -1, 2, -3, 5]

dot_product = 0
for i in range(len(u)):
    dot_product += u[i] * v[i]

print(dot_product)  # 28

[ ]

العلاقة بين الضرب القياسي وطول المتجه

from math import sqrt

def dot(u, v):
    if len(u) != len(v):
        raise ValueError("dimensions must match")
    return sum(u[i] * v[i] for i in range(len(u)))

u = [-3, -4]
print("u · u =", dot(u, u))
print("‖u‖ =", sqrt(dot(u, u)))  # 5.0

from math import sqrt

def dot(u, v):
    if len(u) != len(v):
        raise ValueError("dimensions must match")
    return sum(u[i] * v[i] for i in range(len(u)))

u = [-3, -4]
print("u · u =", dot(u, u))
print("‖u‖ =", sqrt(dot(u, u)))  # 5.0

[ ]

التعامد: ناتج الضرب القياسي يساوي صفراً

def dot(u, v):
    return sum(u[i] * v[i] for i in range(len(u)))

print(dot([0, -5], [-4, 0]))   # متعامدان
print(dot([-3, -4], [-4, 3]))  # متعامدان أيضاً
print(dot([1, 1], [1, 1]))     # غير متعامدين

def dot(u, v):
    return sum(u[i] * v[i] for i in range(len(u)))

print(dot([0, -5], [-4, 0]))   # متعامدان
print(dot([-3, -4], [-4, 3]))  # متعامدان أيضاً
print(dot([1, 1], [1, 1]))     # غير متعامدين

تمرين تفاعلي

20 نقطة

تمرين 1

احسب الضرب القياسي للمتجهين الآتيين وخزّنه في d1:

u = (4, 3, 6, 5)^T, \qquad v = (-3, 4, -5, 6)^T

يجب أن تكون النتيجة صفراً.

[ ]

u1 = [4, 3, 6, 5]
v1 = [-3, 4, -5, 6]
d1 =
# اكتب الكود هنا
print(d1)

u1 = [4, 3, 6, 5]
v1 = [-3, 4, -5, 6]
d1 =
# اكتب الكود هنا
print(d1)

تمرين تفاعلي

20 نقطة

تمرين 2

ليكن $u = (-3, -4)^T$ . احسب $u \cdot u$ وخزّنه في uu، ثم استنتج طول $u$ وخزّنه في u_length.

[ ]

u2 = [-3, -4]
uu =
u_length =
print(uu, u_length)

u2 = [-3, -4]
uu =
u_length =
print(uu, u_length)

تمرين تفاعلي

30 نقطة

تمرين 3

تحقّق برمجياً من أن تغيير إشارة أحد المتجهين المتعامدين أو كليهما لا يغيّر تعامدهما.

اكتب دالة stays_orthogonal(u, v) تُعيد True إذا كانت التوليفات الأربع $(u,v)$ و $(-u,v)$ و $(u,-v)$ و $(-u,-v)$ كلها متعامدة.

[ ]

def stays_orthogonal(u, v):
    # اكتب الكود هنا
    pass

print(stays_orthogonal([4, 3, 6, 5], [-3, 4, -5, 6]))
print(stays_orthogonal([1, 1], [1, 1]))

def stays_orthogonal(u, v):
    # اكتب الكود هنا
    pass

print(stays_orthogonal([4, 3, 6, 5], [-3, 4, -5, 6]))
print(stays_orthogonal([1, 1], [1, 1]))

أكملت 0 من 6 خطوة في هذا الدفتر. شغّل الخلايا المتبقّية وحلّ التمارين لإتمامه.

كل دفاتر المسار الدفتر التالي: المصفوفات

المادة العلمية مبنية على المادة العلمية للمرحلة التحضيرية (QWorld / QSaudiArabia)، إعداد: Abuzer Yakaryılmaz · خلود بندر المطيري · جود عوض الشهري.